Математическая шутка Льюиса Кэрролла

4 июля 2012 г. в Оксфорде отмечалась 150-я годовщина знаменитой прогулки, которая вошла в историю мировой литературы. В этот день профессор Чарльз Лютвидж Доджсон, преподаватель математики из Крайст-Чёрч колледжа, более известный по своему псевдониму Льюис Кэрролл, вместе со своим приятелем преподобным Робинсоном Даквортом поплыли на лодке по Темзе, прихватив с собой за компанию трех дочек вицеректора колледжа, в т.ч. 10-летнюю Алису Лидделл, которая упросила профессора развлечь их какой-нибудь занятной историей.
Девочкам история понравилась, и Алиса попросила Доджсона записать рассказ для неё. Доджсон начал писать рукопись на следующий день после поездки. Алиса Лидделл потом писала: “Я думаю, что история Алисы берет своё начало в тот летний день, когда солнце палило настолько сильно, что мы высадились на поляне, бросив лодку, лишь бы укрыться в тени. Мы расположились под свежим стогом сена. Там вся троица завела старую песню: «Расскажи историю» — так и началась восхитительная сказка”. В своей книге «Алиса в стране чудес» Льюис Кэрролл в гл. 2 приводит следующую фразу Алисы, когда она пробует вспомнить то, что знала раньше (перевод Н. М. Демуровой) «А ну-ка проверю, помню я то, что знала, или нет. Значит так: четырежды пять - двенадцать, четырежды шесть - тринадцать, четырежды семь... Так я до двадцати никогда не дойду!» Комментаторы отмечают, что это получается потому, что Кэрролл в шутку меняет систему счисления. В своей жизни мы часто сталкиваемся с недесятичными системами счисления. Например, в компьютерах часто используется шестнадцатиричная система, в которой первые десять цифр (0-9) такие же, как в десятичной системе, а дальше в качестве цифр используются буквы латинского алфавита A – F, так что число 15 записывается как F, а число 16 – как 10. Этих представлений достаточно, чтобы определить, какие же системы счисления использовалась при кэрролловских умножениях Алисы. Мы знаем, что когда произносится число двенадцать, это означает, что в нём есть две единицы и один разряд системы. Если система шестнадцатиричная, то число двенадцать соответствует 2 + 16 = 18. А если разрядность неизвестна? Тут надо воспользоваться тем, что величина произведения двух чисел не зависит от того, в какой системе записаны множители. Четырежды пять всегда будет составлять два десятка. И если один из компонентов произведения составляет 2, то второй компонент должен составить 18, чтобы в сумме они составили два десятка. Таким образом, получаем, что в первом примере умножения Алисы использовалась 18-ричная числовая система. Во втором примере (четырежды шесть - тринадцать) действуем по той же логике. В десятичной системе 4 6 = 24. В сумме компонентов произведения количество единиц равно трём. Следовательно, второе умножение Алисы произведено в 21-ричной системе.